１．次のうち、トートロジーはどれか判定せよ。

（a）¬(φ→¬φ)
（b）（¬φ∨ψ）↔（ψ→¬φ）
（c）φ→（(ψ→σ)→((φ→ψ)→(φ→σ))）
（d）（φ→(ψ∧¬ψ)）→¬φ
（e）（φ→ψ）∨（ψ→φ）

２．次を証明せよ。

（a）├（Ｐ→Ｑ）→¬（Ｐ∧¬Ｑ）
（b）├　¬（Ｐ∧¬Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
（c）Ｐ├　¬（¬Ｐ∧Ｑ）
（d）¬（Ｐ∧¬Ｑ），Ｐ├Ｑ
（e）∃ｘ　¬Ｆ_ｘ　├　¬∀ｘ　Ｆ_ｘ

３．次の日本語の文を（述語）論理記号で書き表しなさい。ただし、「…はカエルである」、「…は緑色である」、「…は…より大きい」をそれぞれＦ，Ｇ，Ｒ　とせよ。

（a）いかなるカエルも緑色でない。
（b）最大のカエルが存在する。
（c）すべてのものはカエルであるか、カエルでないかのどちらかである。
（d）最小のカエルは存在しない。

４．付値関数を用いて、以下を示しなさい。
＜注＞適当な記号がないため、トートロジー（tautology）を┝で代用します。

　　　　（a）Γ┝φ　かつ　Δ∪{φ｝┝ψ　ならば、Γ∪Δ┝ψ，
　　　　（b）Γ┝（φ∨ψ），Δ∪{φ｝┝α　かつ　Σ∪｛ψ｝┝α　なら ば、Γ∪Δ∪Σ┝α.

５．命題から命題への写像*（*：ＰＲＯＰ→ＰＲＯＰ）を次のように定義する。

（1）このとき、（(p₀∧¬p₁)∨p₂）^*の値（すなわち、*によって写された命題）がどのような形の命題になるかを示せ。
（2）φ^*の真理値と¬φの真理値とが等しくなることを示せ。
（ヒント：帰納法を用いる。また、ド・モルガンの法則　¬（φ∨ψ）↔（¬φ∧¬ψ）　や　¬（φ∧ψ）↔（¬φ∨¬ψ）　は自由に使ってよい。）